B/(A+d) を (B-e)/A で近似する方法

バックギャモンのゲーム中、特にトーナメントなどでのマッチプレーの最中にしばしば 43/102 など分母が計算しやすい数値（この場合 100）に近い割り算をする必要がでてくることがあります。そんな場合にその分母を計算しやすい値にずらして近似計算する方法を示します。なれるとほとんどの場合暗算で計算できるようになります。
 
d が A に比べて十分小さいとき e=B/A x d を用いて B/(A+d) を (B-e)/A で近似することができる。

説明

d, e はその絶対値が A に比べて十分小さい実数とする。

B/A = C, d/A = d', e/A = e' と置くと
B/(A+d) = C/(1+d') (1)
(B-e)/A = C-e' (2)

B/(A+d) を (B-e)/A で近似したいので (1)=(2) と置くと、
C/(1+d') =C-e'
C =(C-e')(1+d')
=C+Cd'-e'-e'd'
Cd' =e'+e'd' (3)

ここで e', d'<<1 より e'd' は極めて小さくなるので無視すると
Cd' ~ e'
e'/d' ~ C
e ~ B/A x d

つまり e = B/A x d となるように e を選べば
B/(A+d) を (B-e)/A で近似することができる。
 

応用例 1    34/52

34/52 を r/100 の形で近似したいので分子分母両方を二倍して 68/104 としておく。

そして d=4 とおくと
e = 68/100 x d
= 68 x 4 / 100
= 272/100
= 2.72

したがって 34/52 は
34/52=68/104 = 68/(100+4)
~ (68-2.72)/100
= 65.28/100
= 0.6528
と近似できる。

実際には 34/52 = 0.65385 誤差は -0.00105
 

応用例 2    37/96

d = -4 として e = 37/100 x (-4) = -148/100 = -1.48
37/96 = 37/(100-4)
~ (37+1.48)/100
= 38.48/100
= 0.3848

実際には 37/96 = 0.38542 誤差は +0.00062

Created by Sho Sengoku

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